//-->
koddostu facebook koddostu google+ koddostu twitter
Paylaş Share

Talha İşbitirici

Toplam Sembolü

 
  1. k=1nc=c+c++c=nc(cR)
  2. k=1nk=1+2++n=n(n+1)2
  3. k=1n2k1=1+3++2n1=n2
  4. k=1n2k=2+4++2n=n(n+1)
  5. k=1nk2=12+22++n2=n(n+1)(2n+1)6
  6. k=1nk3=13+23++n3=[n(n+1)2]2
  7. k=1n1k(k+1)=112+123++1n(n+1)=nn+1
  8. k=1nk(k+1)=12+23++n(n+1)=n(n+1)(n+2)3
  9. k=1nrk1=1+r+r2+rn1=1rn1r
  10. k=1nk(k+1)!=12!+23!++n(n+1)!=11(n+1)!
  11. k=1nkk!=11!+22!++nn!=(n+1)!1

Bu formüllerin hem toplam formülü ile kısaltılmış hallerini hem de açık halde hangi toplamı ifade ettiklerini bilmek durumundayız. Toplam formülünün özelliklerini de açıklayarak adım adım bu formülleri nasıl kullanacağımızı görelim.

Öncelikle içerdeki bir çarpan dışarı çıkabilir. Örneğin 3k=3k dır. İkinci olarak, toplam sembolü toplama ve çıkarma üzerine dağılır. Bu iki özelliği içeren bir örnek:

Örnek

 

k=1123k2+k3
toplamının değeri nedir?

 

Çözüm

İki özelliği uygularsak

k=1123k2+k3=k=1123k2+k=112k3=3k=112k2+k=112k3=31213256+[12132]2=8034

 

Toplam sembolü çarpma üzerine dağılmaz, (k+1)(k1)(k+1)(k1). Bu durumda çarpmayı yapmak durumundayız.

Örnek

k=130(k1)(k+2) toplamının değeri nedir?

Çözüm

 

k=130(k1)(k+2)=k=130k2+k2=k=130k2+k=130kk=1302=3031616+30312302=9860

 

Tüm formüllerde alt sınır k=1 dir, indis 1 den başlamazsa bazı ayarlamalar yaparak 1 den başlatıyoruz. Alt sınırı 1 den başlatmak için c eklememiz gerekiyorsa üst sınıra da bu sayıyı ekliyoruz ve içerde kgördüğümüz yere kc yazıyoruz. ?

Not

Yani içerde tersini yapıyoruz. Örneğin k yı 1 e indirmek için 2 eklemişsek içerde k=k2 dönüşümü yapıyoruz.

Örnek

k=320(k+1)k toplamının değeri nedir?

Çözüm

Alt sınırı 1 yapmak için 2 çıkarmalıyız, aynısını üst sınıra da yapıyoruz ve içerde de k=k2 dönüşümü yapıyoruz.

k=320(k+1)k=k=118(k2+1)(k2)=k=118(k1)(k2)=k=118k23k+2=k=118k23k+2=k=118k23k=118k+k=1182=1819376318192+218=1632

 

Örnek

k=223(2k1)(k+1) toplamının değeri nedir?

Çözüm

Alt sınırı 1 yapmak için 3 eklemeliyiz. Demek ki içerde k=k3 dönüşümü yapmalıyız.

k=223(2k1)(k+1)=k=126(2[k3]1)([k3]+1)=k=126(2k7)(k2)=k=1262k211k+14=2k=126k211k=126k+k=12614=226275361126272+1426=8855

 

Örnek

12+43+94++16914 toplamının değeri nedir?

Çözüm

Terimlerde ilk çarpanlar 12,22,32,132 şeklinde gitmektedir. İkinci çarpan hep bir arttığından toplam şöyle ifade edilebilir:

k=113k2(k+1)

Bundan sonra toplama üzerine dağılma özelliği ve formülleri kullanılarak sonuç hesaplanabilir.

 

Formülleri her zaman kullanmak uzun olabilir. Önce Gauss yöntemini hatırlayalım. Artışın sabit olduğu bir toplamda cevap

ilk terim + son terim2×Terim sayısı

Ayrıca terim sayısı formülü:
Terim Sayısı=Son Terimİlk TerimArtış Miktarı+1
Toplamı tersten alt satıra yazdığımızda alt alta gelen sayıların toplamı hep son terimle ilkin toplamı olmaktadır. Bunun sebebi artışın sabit olmasıdır. Örnekte üst satırda ardışık terimler 3 artarken alt satırda 3azalmakta. Bu iki satırın toplamı için ilk ve son toplamını terim sayısı ile çarpmalıyız.

 

 

=5+8+11++74=74+71+68++5=79+79+79++79Terim sayısı kadar

 

Örneğin: 5+8+11++74 toplamı için önce terim sayısını bulalım

Terim Sayısı=7453+1=24

Toplamın değeri formülden
ilk terim + son terim2×Terim sayısı=79242=948

 

Bunun yanında kareli ve küplü terim içeren sorularda da alt indisi değiştirmeden önce açık toplama bakmak iyidir. Örneğin

Örnek

k=2021k3 toplamının değeri nedir?

Çözüm

İndis değiştirmeye kalksak içerde k=k+21 dönüşümü yapıp bir binom açılımı yapmak gerekecek. Bunun yerine terimleri yazmaya başlayalım:

k=2021k3=(20)3+(19)3++(21)3

20 den +21 e kadar olan sayıların küpleri toplanmakta, karşılıklı ters işaretli terimler birbirini götüreceğinden cevap 213=9261

 

Örnek

67+78++99100 toplamının değeri nedir?

Çözüm

Toplam 12+23++99100 olsaydı formüle göre cevap

1001011024=257550

Sorulan toplam 67 ile başlıyor. Olmayan terimler:
12++56=6784=84

Cevap 25755084=257466

 



Google PageRank Checker Powered by  MyPagerank.Net
talhaisbitirici.tr.gg
Tüm hakları saklıdır.Copyright © 2012 - 2013
Çizen: Muhammed Talha İŞBİTİRİCİ , HTML&CSS Döken: Muhammed Talha İŞBİTİRİCİ
=> Sen de ücretsiz bir internet sitesi kurmak ister misin? O zaman burayı tıkla! <=