- ∑k=1nc=c+c+⋯+c=n⋅c(c∈R)
- ∑k=1nk=1+2+⋯+n=n(n+1)2
- ∑k=1n2k−1=1+3+⋯+2n−1=n2
- ∑k=1n2k=2+4+⋯+2n=n(n+1)
- ∑k=1nk2=12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6
- ∑k=1nk3=13+23+⋯+n3=[n(n+1)2]2
- ∑k=1n1k(k+1)=11⋅2+12⋅3+⋯+1n(n+1)=nn+1
- ∑k=1nk(k+1)=1⋅2+2⋅3+⋯+n⋅(n+1)=n(n+1)(n+2)3
- ∑k=1nrk−1=1+r+r2+⋯rn−1=1−rn1−r
- ∑k=1nk(k+1)!=12!+23!+⋯+n(n+1)!=1−1(n+1)!
- ∑k=1nk⋅k!=1⋅1!+2⋅2!+⋯+n⋅n!=(n+1)!−1
Bu formüllerin hem toplam formülü ile kısaltılmış hallerini hem de açık halde hangi toplamı ifade ettiklerini bilmek durumundayız. Toplam formülünün özelliklerini de açıklayarak adım adım bu formülleri nasıl kullanacağımızı görelim.
Öncelikle içerdeki bir çarpan dışarı çıkabilir. Örneğin ∑3k=3∑k dır. İkinci olarak, toplam sembolü toplama ve çıkarma üzerine dağılır. Bu iki özelliği içeren bir örnek:
∑k=1123k2+k3
toplamının değeri nedir?
İki özelliği uygularsak
∑k=1123k2+k3=∑k=1123k2+∑k=112k3=3∑k=112k2+∑k=112k3=312⋅13⋅256+[12⋅132]2=8034
Toplam sembolü çarpma üzerine dağılmaz, ∑(k+1)(k−1)≠∑(k+1)⋅∑(k−1). Bu durumda çarpmayı yapmak durumundayız.
∑k=130(k−1)(k+2) toplamının değeri nedir?
∑k=130(k−1)(k+2)=∑k=130k2+k−2=∑k=130k2+∑k=130k−∑k=1302=30⋅31⋅616+30⋅312−30⋅2=9860
Tüm formüllerde alt sınır k=1 dir, indis 1 den başlamazsa bazı ayarlamalar yaparak 1 den başlatıyoruz. Alt sınırı 1 den başlatmak için c eklememiz gerekiyorsa üst sınıra da bu sayıyı ekliyoruz ve içerde kgördüğümüz yere k−c yazıyoruz. ?
Not
Yani içerde tersini yapıyoruz. Örneğin k yı 1 e indirmek için 2 eklemişsek içerde k=k−2 dönüşümü yapıyoruz.
∑k=320(k+1)⋅k toplamının değeri nedir?
Alt sınırı 1 yapmak için 2 çıkarmalıyız, aynısını üst sınıra da yapıyoruz ve içerde de k=k−2 dönüşümü yapıyoruz.
∑k=320(k+1)⋅k=∑k=118(k−2+1)⋅(k−2)=∑k=118(k−1)⋅(k−2)=∑k=118k2−3k+2=∑k=118k2−3k+2=∑k=118k2−3∑k=118k+∑k=1182=18⋅19⋅376−318⋅192+2⋅18=1632
∑k=−223(2k−1)(k+1) toplamının değeri nedir?
Alt sınırı 1 yapmak için 3 eklemeliyiz. Demek ki içerde k=k−3 dönüşümü yapmalıyız.
∑k=−223(2k−1)(k+1)=∑k=126(2[k−3]−1)([k−3]+1)=∑k=126(2k−7)(k−2)=∑k=1262k2−11k+14=2∑k=126k2−11∑k=126k+∑k=12614=226⋅27⋅536−1126⋅272+14⋅26=8855
1⋅2+4⋅3+9⋅4+⋯+169⋅14 toplamının değeri nedir?
Terimlerde ilk çarpanlar 12,22,32,…132 şeklinde gitmektedir. İkinci çarpan hep bir arttığından toplam şöyle ifade edilebilir:
∑k=113k2(k+1)
Bundan sonra toplama üzerine dağılma özelliği ve formülleri kullanılarak sonuç hesaplanabilir.
Formülleri her zaman kullanmak uzun olabilir. Önce Gauss yöntemini hatırlayalım. Artışın sabit olduğu bir toplamda cevap
ilk terim + son terim2×Terim sayısı
Ayrıca terim sayısı formülü:
Terim Sayısı=Son Terim−İlk TerimArtış Miktarı+1
Toplamı tersten alt satıra yazdığımızda alt alta gelen sayıların toplamı hep son terimle ilkin toplamı olmaktadır. Bunun sebebi artışın sabit olmasıdır. Örnekte üst satırda ardışık terimler
3 artarken alt satırda
3azalmakta. Bu iki satırın toplamı için ilk ve son toplamını terim sayısı ile çarpmalıyız.
∑=5+8+11+⋯+74=74+71+68+⋯+5=79+79+79+⋯+79Terim sayısı kadar
Örneğin: 5+8+11+⋯+74 toplamı için önce terim sayısını bulalım
Terim Sayısı=74−53+1=24
Toplamın değeri formülden
ilk terim + son terim2×Terim sayısı=79⋅242=948
Bunun yanında kareli ve küplü terim içeren sorularda da alt indisi değiştirmeden önce açık toplama bakmak iyidir. Örneğin
∑k=−2021k3 toplamının değeri nedir?
İndis değiştirmeye kalksak içerde k=k+21 dönüşümü yapıp bir binom açılımı yapmak gerekecek. Bunun yerine terimleri yazmaya başlayalım:
∑k=−2021k3=(−20)3+(−19)3+⋯+(21)3
−20 den
+21 e kadar olan sayıların küpleri toplanmakta, karşılıklı ters işaretli terimler birbirini götüreceğinden cevap
213=9261
6⋅7+7⋅8+⋯+99⋅100 toplamının değeri nedir?
Toplam 1⋅2+2⋅3+⋯+99⋅100 olsaydı formüle göre cevap
100⋅101⋅1024=257550
Sorulan toplam
6⋅7 ile başlıyor. Olmayan terimler:
1⋅2+⋯+5⋅6=6⋅7⋅84=84
Cevap
257550−84=257466
